16 jan 2025 -- 14:30
Aula Riunioni - Dipartimento di Matematica, Pisa
Abstract.
I circle packing su superfici iperboliche (o più in generale su superfici Riemanniane a curvatura costante) sono collezioni di dischi mutualmente tangenti, tali che il complementare dell’unione di tali dischi sia un’unione disgiunta di interstizi triangolari. Essi sono stati inizialmente studiati da Thurston che ne ha dimostrato un importante risultato di rigidità: fissata la combinatoria della collezione dei dischi esiste un un’unica superficie iperbolica su cui il circle packing può essere realizzato. Più recentemente Kojima Mitzushima e S.Tan hanno osservato che la nozione di disco su $\mathbb{C}\mathbb{P}^1$ e invariante per trasformazioni proiettive e dunque ha senso parlare di dischi e di circle packing su superfici munite di strutture proiettive complesse. Essi hanno osservato che lo spazio delle strutture proiettive munite di circle packing con una combinatoria fissata è descritto da una varietà algebrica reale di dimensione $6g-6$, dove g è il genere della superficie e hanno lasciato aperte tre domande: (1) stabilire se tale varietà algebrica sia liscia, (2) stabilire se l’inclusione naturale di tale spazio nello spazio delle strutture proiettive sia un’immersione, (3) stabilire se la mappa che associa a ogni elemento di questa varietà la struttura complessa soggiacente sia un locale diffeo. Nel seminario parlerò di questi problemi e di alcuni risultati parziali recentemente ottenuti in collaborazione con Mike Wolf.